一道初三数学难题

来源：昆明一年级家教昆明二年级家教昆明三年级家教日期：2019-9-17

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一道初三数学综合题, 求直线解析式很简单, 但动点问题容易出错

猫

猫哥纵横

09-03

今天，数学世界给大家分享一道初三数学综合题，这道题难度并不大，解决此题关键是正确理解题意，并要灵活运用相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，以及注意对问题进行分类。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（初三数学题）如图，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°。若动点P从O点出发，沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发，沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动，设移动的时间为t秒。

（1）求直线AC的解析式；

（2）当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？

分析：第（1）问要求直线AC的解析式，思路很简单，就是要求出点A和点C的坐标即可。点A的坐标容易得出，求点C的坐标，需要过点C作CE⊥OA，垂足为E，在Rt△OCA中，根据勾股定理可以求出AC。再利用等积法求得CE的长，即C点的纵坐标，进一步可以求得C点的横坐标，然后利用两点式求得直线的解析式。

第（2）问要求当t为何值时，△OAC与△PAQ相似，由于两个三角形相似可以分几种情况，所以要结合已知条件分情况进行讨论，再根据对应线段成比例即可求得t的值。此题很容易出错的地方就是只给出一种结果，所以一定要注意分类讨论。

解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，

∵OA=5，OC=AB=4，∠OCA=90°，

∴在Rt△OCA中，AC^2= OA^2-OC^2，AC=3，

在Rt△OCA中利用等积法，

得5×CE=3×4，

∴CE=12/5，

在Rt△OCE中，OE^2= 4^2-(12/5)^2，OE=16/5，

∴C（16/5，12/5），A（5，0），

设直线的解析式为y=kx+b，

将C（16/5，12/5），A（5，0）代入，（过程略）

可求得直线的解析式为y=-4/3x+20/3。

（2）∵OA=5，动点P以每秒2个单位的速度移动，5÷2=2.5秒

∴当0≤t≤2.5时，P在线段OA上，

此时∠PAQ>90°，△OAC与△PAQ不可能相似。

当t＞2.5时，P在OA的延长线上，

①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，

∴AQ/OA=AP/OC,

即t/5=(2t-5)/4,

解得t=25/6，（满足t＞2.5）

②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，

∴AQ/OC=AP/OA,

即t/4=(2t-5)/5,

解得t=20/3，（满足t＞2.5）

综上可知，当t=25/6或20/3时，△OAC与△APQ相似。

由于时间仓促，若文中出现一些小错误，还请大家谅解！郑重声明：这里全部文章均由猫哥原创，“数学世界”专注小学和初中数学知识分享。若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法，欢迎留言参与讨论。

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