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为什么正多面体最多只能是正二十面体
李
李小燕燕说游戏
09-15
所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。
例如下图
有朋友可能就会问：为什么没有正二十一面体、正五面体呢等等。
首先这个问题最先是被瑞士数学家欧拉所解决。
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典着作。
欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的着作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。
其中他的成就之一欧拉定理便是解决多面体问题的一把黄金钥匙。
欧拉定理简单来说就是在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2
因为本人并非数学专业人才，所以接下来的推理过程来自网站。如有冒犯还请周知。
多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即
Nf=2E--------------1式
同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即
mV=2E--------------2式
由1式、2式，得
F=2E/n,V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2，
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数，所以1/E>0。因此
1/m+1/n>1/2--------------3式
3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以
nm类型
33正四面体
43正六面体
34正八面体
53正十二面体
35正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种。
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真正意义上的全能数学家之一, 几乎可以跟数学之王高斯媲美!
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评论
热门 最新
+1
重庆用户66xxxx658
09-16 07:37
每次看见和数学相关的文章，我就知道我一定看不懂，但我每次都会点进来
南阳用户26xxxx649：
当你看了物理、化学、英语后，还是数学简单一些，毕竟每个数字都认识！[呲牙笑]
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一大一小两双眼：
瞻仰伟人的傲岸身影，也会让自己变得热血沸腾。所以就会点进来。
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+1
破问津
09-16 07:53
一篇文章，欧拉的生平简介占了四分之三，拉篇幅拉的有点过分了！
心海oppa：
你除了他的生平简介你还看得懂其他的吗？
蝴 蝶 回复 心海oppa：
[点赞]
许昌用户66xxxx658 回复 心海oppa：
扎心了
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+1
南京用户66xxxx658
09-16 09:57
简单点说，多面体每个顶点至少会有3条边，少了构不成空间多面体，顶点的几个面角度之和必须小于360°，等于就是平面镶嵌，大了就是空间扭曲了。如果面是正三角形，那么可以有3、4、5个三角形聚一个顶点，6个就是角度总和360°，平面镶嵌了，分别对应正四面体、正八面体和正二十面体；如果是正方形，那每个顶点处只能有3个正方形，4个就是360°平面镶嵌了，对应正方体；如果是正五边形，那每个顶点也是只能3个，对应正十二面体；如果是六边形，3个六边形已经是平面镶嵌了，更多边的就更不行了。
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幸福：
你比小编说的好
往事随风：
正多面体的定义到底是什么呢？每个面都是正多边形，并且每个正多边形同形状等面积，这样总结不知道是不是准确。我看了这个解释才发现我还没搞清楚正多边形的定义是什么。
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+1
赘婿批判儒家的依仗是喀秋莎
09-16 08:49
昨晚做梦被高中数学老师拎去做卷子，梦到狂蟒之灾、丧尸围城、月地相撞我都没那么绝望过。
冰颜雪璃：
那些事情不过一死，去做数学卷子可是酷刑啊。
幻化成风：
人被逼急了，什么都做的出来。除了数学题
战颜：
为啥我觉得数学很简单[得瑟]语文学不会
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+1
爱雪的鱼
09-16 09:40
球算个啥，正一面体还是正无穷面体。
常州用户66xxxx658：
曲面，球体。多面体要有棱[笑着哭]。读读书吧
诸天之爹顾少伤 回复 常州用户66xxxx658：
正无穷面体
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+1
我小时候可酷了-
09-16 07:39
一脸懵逼的进来，一脸懵逼的出去。
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+1
毕节用户66xxxx658
09-16 09:40
数学是最严谨，最正确的一门科学，如果没有得到验证那么就要称之为假设。数学引领了科学。虽然我看不懂，但是觉得很厉害[呲牙笑]
我欲成仙 法力无边：
严谨个屁，百年前的爱因斯坦提出的大多数理论都无法得到证实，科学靠的就是幻想，数学就是来记录幻想的景象而已，数学语言和自然语言，编程语言一样，用符号记录现象，表达现象
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初&苍瞳：
不是正确，而是最合理。逻辑和数学是某种特殊的存在，以特定的数字和符号方式表达。而所有的存在都是在发生变化的，正确答案的解析是不存在的。在特定的时间空间的变化中最合理的解释是存在的。
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+1
无谓所谓
09-16 08:50
这些数学家感觉都有病，脑子有点过分了，学都学不明白[笑着哭]
十四种色彩：
是你太韩币了，别让你娃子上学了，直接去搬砖不多好！！！
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+1
天谴之人不逆天则死
09-16 08:28
以前这些数学家智商高的都不像人类
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+1
独行客
09-16 08:03
欧啦啦欧啦啦欧啦啦啦
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