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分析含有期权的最优投资与比例再保险策略
作者：2014-09-22 16:43:00阅读： 次文章来源：《中国系统工程学会第十
通常情况下，保险公司通过出售保险而集中了大量的风险，然而每一家公司承担风险的能力是有限的，为了求得一定的经营规模和经营业绩的稳定，增强竞争能力和提高经济效益，保险公司还必须将其承保的危险责任进行合理安排以便转嫁一定的风险，控制自身所承担的保险责任。在这种情况下，保险公司自身也必须购买再保险。购买再保险后，原保险公司减少承担风险的同时，保费收入也因支付再保险费用而减少。如何权衡收益和风险这两者的关系就引出了对最优再保险策略的研究。另一方面，保险公司出于追求盈利的目的会把部分资产投资于资本市场，以期分享资本市场的收益，这就会引入资本市场收益的风险。如何平衡在资本市场投资与风险的关系，选择合适的资本市场投资比例，这就引出了对最优投资策略的研究。在研究保险公司的投资策略时，传统的方法仅将资产分为风险资产和非风险资产两类模型。而当保险公司的投资对象中含有期权时如何安排自己的投资策略就成为保险公司面临的实际问题。
前期的研究工作大致可以分为三类:第一类研究是以最小化破产概率(优秀化生存概率)为最优目标，对该进问题进行研究。Browne首先考虑了这类问题，在盈余过程为带漂移的布朗运动，只有一种风险资产，其价格服从几何布朗运动，且没有再保险的条件下，得到了最优投资策略和最小破产概率的显式解。这个模型后来被Taksar和Markussen，Luo进一步拓展，他们对赔付进行比例再保险，也得到非常清楚的最优策略和最优值函数的表达式。与Browne不同，Hipp和Plum考虑了传统的风险模型，并假设盈余可以投资一种价格服从几何布朗运动的风险资产，在没有再保险的条件下，得到了最小破产概率所满足的Hamilton-Jacobi-Bellman方程(简称HJB方程)，证明了解的存在性，并给出了数值解。在Hipp和Plum的基础上，Li。和Yang将盈余投资到无风险资产，对模型做了拓展;Schimidli在Hipp和Plum的模型下，对赔付进行再保险，得到了最小破产概率所满足的HJB方程，并给出了求数值解的方法。与传统的风险模型不同，Yang和Zhang考虑了跳一扩散风险模型的最优投资问题，研究了理赔额服从指数，伽玛分布的情况下的最优投资以及最小破产概率的数值解。由于在跳-扩散风险模型中，要得到破产概率的显式表达式是非常困难的，因此大部分文献都只给出了破产概率的估计，特别是上界估计。Hald和Schmidli，Liang和Guo, Lin等在盈余过程为跳-扩散风险过程，且只有一种风险资产和比例再保险的条件下，得到了最小破产概率满足Lundberg的不等式。与前人工作不同，Lin和Li对索赔次数为复合Poisson Geometric过程的风险模型的最优投资和比例再保险进行了研究，得到了最优投资策略和最小破产概率的显式解。Bayraktar和Young考虑了带有借款约束的最小化破产概率模型。Luo，Taksar和Tsoi针对资本市场投资部分有权益产品和固定收益产品可选的情况进行了讨论，进一步完善了Bayraktar和Young模型。
第二类学者将研究重点放在实现优秀收益上。Yang和Zhang利用期望效用优秀化得到了最优投资策略。Asmussen和Taksar, Gerber和Shiu研究了期望贴现优秀化。Hojgaard和Taksar在回报函数优秀化的准则下研究了比例再保险的最优问题，得到了最优策略的形式表达式以及在扩散情形下的最优值函数。Schmidli研究了动态资产的最优比例再保险策略，在不考虑不确定因素影响的扩散情形下得到了最优策略的形式表达式。Liang在Schmidli的基础上，重新考虑了这个问题，得到的最优策略的显式表达式不仅适用于扩散逼近情形，同时适用于跳扩散情形。事实上，如何平衡风险与收益是金融研究的重要课题。还有一些学者，同时考虑到破产概率和股东回报。希望能兼顾保险公司的安全性和盈利性，即在一个模型中同时考虑优秀化公司价值和最小化破产概率问题。Thonhauser和Albrecher在优秀化股东回报模型中，添加一项代表对存续时间长的保险公司的溢酬，得到了带有存续时间价值的控制模型。Jostein考虑了在限定时间内破产概率要小于一定数值条件下的最优回报问题。受Jostein的启发，HeLin解决了满足一定破产概率限制下的保险公司最优回报问题。此模型帮助保险公司管理层在风险与收益中做出权衡，即在控制风险的条件下实现回报的优秀化。
本文有别于前人的工作在于:(1)将期权独立于其他风险资产引入最优投资模型，研究投资策略和比例再保险策略，分析期权价格对于策略的影响以及组合价值的影响。(2)利用动态规划原理，将最优控制问题转化为HJB方程对模型进行求解，并得到了该非线性方程的显式解。(3)通过证明得到了方程解的验证定理。
本文的主要工作如下:在第一章中，我们应用随机控制方法建立财富效用优秀化模型，得到了最优投资策略和比例再保险策略的解析形式;并在第三章中证明了方程解的验证定理;最后在第四章中，我们假设索赔额服从指数分布，通过数值计算分析不同参数对比例再保险水平和投资策略的影响。
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